Формули об 'єму піраміди повної і усіченої. Обсяг піраміди Хеопса

Формули об 'єму піраміди повної і усіченої. Обсяг піраміди Хеопса

Вміння обчислювати обсяг просторових фігур є важливим при вирішенні низки практичних завдань з геометрії. Однією з поширених фігур є піраміда. У цій статті розгляньмо формули об "єму піраміди як повної, так і усіченої.

Піраміда як об 'ємна фігура

Кожен знає про єгипетські піраміди, тому добре уявляє, про яку фігуру піде мова. Проте єгипетські кам 'яні споруди є лише приватним випадком величезного класу пірамід.


Розглянутий геометричний об 'єкт в загальному випадку являє собою багатокутну основу, кожна вершина якої з' єднана з деякою точкою в просторі, що не належить площині основи. Це визначення призводить до фігури, що складається з одного n-вугільника і n трикутників.

Будь-яка піраміда складається з n + 1 граней, 2 * n ребер і n + 1 вершини. Оскільки розглянута фігура є досконалим поліедром, то числа зазначених елементів підпорядковуються рівності Ейлера:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Багатокутник, що знаходиться в основі, дає назву піраміди, наприклад, трикутна, п 'ятикутна і так далі. Набір пірамід з різними підставами наведено на фото нижче.

Точка, в якій n трикутників фігури з 'єднуються, називається вершиною піраміди. Якщо з неї опустити на основу перпендикуляр і він перетне його в геометричному центрі, тоді така фігура буде називатися прямою. Якщо ця умова не виконується, то має місце похила піраміда.

Пряма фігура, основа якої утворена рівностороннім (рівнокутним) n-вугільником, називається правильною.


Формула об "єму піраміди

Щоб обчислити об 'єм піраміди, скористайтеся інтегральним обчисленням. Для цього розіб 'ємо фігуру паралельними основі секущими площинами на нескінченне число тонких шарів. Малюнок нижче показує чотирикутну піраміду висотою h і довжиною сторони L, в якій чотирикутником позначено тонкий шар перерізу.

Площу кожного такого шару можна обчислити за формулою:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Тут A0 - площа основи, z - значення вертикальної координати. Видно, що якщо z = 0, то формула дає значення A0.

Щоб отримати формулу об 'єму піраміди, слід обчислити інтеграл по всій висоті фігури, тобто:

V = ∫h0(A(z)*dz).

Підставляючи залежність A (z) і обчислюючи першоподібну, приходимо до виразу:


V = -A0*(h-z)3/(3*h2)|h0 = 1/3*A0*h.

Ми отримали формулу обсягу піраміди. Щоб знайти величину V, достатньо помножити висоту фігури на площу основи, а потім результат поділити на три.

Зауважимо, що отриманий вираз справедливий для обчислення обсягу піраміди довільного типу. Тобто вона може бути похилою, а її підстава являти собою довільний n-вугільник.

Правильна піраміда та її обсяг

Отриману в пункті вище загальну формулу для обсягу можна уточнити в разі піраміди з правильною підставою. Площа такої підстави обчислюється за такою формулою:

A0 = n/4*L2*ctg(pi/n).


Тут L є довжиною боку правильного багатокутника з n вершинами. Символ pi - це число пі.

Підставляючи вираз для A0 в загальну формулу, отримуємо обсяг правильної піраміди:

Vn = 1/3*n/4*L2*h*ctg(pi/n) = n/12*L2*h*ctg(pi/n).

Наприклад, для трикутної піраміди ця формула призводить до такого виразу:

V3 = 3/12*L2*h*ctg(60o) = √3/12*L2*h.


Для правильної чотирикутної піраміди формула обсягу набуває вигляду:

V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.

Визначення обсягів правильних пірамід потребує знання сторони їх заснування та висоти фігури.

Піраміда усічена

Припустимо, що ми взяли довільну піраміду і відсікли у неї частину бічної поверхні, що містить вершину. Фігура, що залишилася, називається усіченою пірамідою. Вона складається вже з двох n-вугільних підстав і n трапецій, які їх з 'єднують. Якщо секуща площина була паралельна основі фігури, тоді утворюється усічена піраміда з паралельними подібними підставами. Тобто довжини сторін одного з них можна отримати, множачи довжини іншого на деякий коефіцієнт k.

Малюнок вище демонструє усічену правильну шестикутну піраміду. Видно, що верхня основа її так само, як і нижня, утворена правильним шестикутником.


Формула об 'єму усіченої піраміди, яку можна вивести, використовуючи подібне наведеному інтегральне обчислення, має вигляд:

V = 1/3*h*(A0 + A1 + √(A0*A1)).

Де A0 і A1 - площі нижньої (великої) і верхньої (маленької) підстав відповідно. Змінною h позначається висота усіченої піраміди.

Обсяг піраміди Хеопса

Цікаво вирішити завдання на визначення обсягу, який укладає всередині себе найбільша єгипетська піраміда.

У 1984 році британські єгиптологи Марк Легнер (Mark Lehner) і Джон Гудман (Jon Goodman) встановили точні розміри піраміди Хеопса. Її початкова висота дорівнювала 146,50 метра (зараз близько 137 метрів). Середня довжина кожної з чотирьох сторін споруди склала 230,363 метра. Основа піраміди з високою точністю є квадратною.

Скористаємося наведеними цифрами для визначення обсягу цього кам 'яного гіганта. Оскільки піраміда є правильною чотирикутною, тоді для неї справедлива формула:

V4 = 1/3*L2*h.

Підставляємо цифри, отримуємо:

V4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≅ 2591444 м3.

Обсяг піраміди Хеопса дорівнює практично 2,6 млн м3. Для порівняння зазначимо, що олімпійський басейн має обсяг 2,5 тис. м3. Тобто для заповнення всієї піраміди Хеопса знадобиться більше 1000 таких басейнів!