Як знайти висоту трапеції: формули на всі випадки життя

Як знайти висоту трапеції: формули на всі випадки життя

На просте запитання "Як знайти висоту трапеції?" існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути дані різні вихідні величини. Тому і формули будуть відрізнятися.

Ці формули можна запам 'ятати, але вони нескладно виводяться. Потрібно тільки застосовувати раніше вивчені теореми.


Формули позначення

У всіх наведених нижче математичних записах вірні такі прочитання букв.

довільна трапеція

рівнобедрена трапеція

назва

а

а


нижня підстава

в

в

верхня підстава

с, d

з

бокові сторони


н

н

висота

m

m


середня лінія

d1, d2

d1

діагоналі

s


s

площа

α, β

α

кути при нижній підставі


γ, δ

γ, δ

кути на перетині діагоналей

У вихідних даних: всі сторони

Для того щоб знайти висоту трапеції в загальному випадку потрібно скористатися такою формулою:

н = ^ (с2 - (((а - в) 2 + с2 - d2 )/( 2 (a - в))) 2). Номер 1.

Не найкоротша, але й зустрічається в завданнях досить рідко. Зазвичай можна скористатися іншими даними.

Формула, яка підкаже, як знайти висоту рівнобедреної трапеції в тій же ситуації, набагато коротша:

н = ^ (с2 - (а - в) 2/4). Номер 2.

У завданні дані: бічні сторони та кути при нижній підставі

Приймають, що кут порожній до бокової сторони з позначенням "с", відповідно кут порожній до сторони d. Тоді формула для того, як знайти висоту трапеції, в загальному вигляді буде такою:

н = с * sin ^ = d * sin ^. Номер 3.

Якщо фігура рівнобедрена, то можна скористатися таким варіантом:

н = с * sin ^ = ((а - в )/2) * tg ^. Номер 4.

Відомі: діагоналі та кути між ними

Зазвичай до цих даних приєднуються ще відомі величини. Наприклад, основи або середня лінія. Якщо дані підстави, то для відповіді на питання, як знайти висоту трапеції, стане в нагоді така формула:

н = (d1 * d2 * sin ^ )/( а + в) або н = (d1 * d2 * sin ^ )/( а + в). Номер 5.

Це для загального виду фігури. Якщо дана рівнобедрена, то запис зміниться так:

н = (d12 * sin ^ )/( а + в) або н = (d12 * sin ^ )/( а + в). Номер 6.

Коли в завданні йдеться про середню лінію трапеції, то формули для пошуку її висоти стають такими:

н = (d1 * d2 * sin ^ )/2m або н = (d1 * d2 * sin ^ )/2m. Номер 5а.

н = (d12 * sin ^ )/2m або н = (d12 * sin ^ )/2m. Номер 6а.

Серед відомих величин: площа з підставами або середньою лінією

Це, мабуть, найкоротші і найпростіші формули того, як знайти висоту трапеції. Для довільної фігури вона буде такою:

н = 2S/( а + в). Номер 7.

Вона ж, але з відомою середньою лінією:

н = S/m. Номер 7а.

Як не дивно, але для рівнобедреної трапеції формули виглядатимуть так само.

Завдання

№1. На визначення кутів при нижній підставі трапеції.

Умова. Дана рівнобедрена трапеція, бокова сторона якої 5 см. Її підстави дорівнюють 6 і 12 см. Потрібно знайти синус гострого кута.

Рішення. Для зручності слід ввести позначення. Нехай ліва нижня вершина буде А, всі інші за годинниковою стрілкою: В, С, Д. Таким чином, нижня підстава буде позначена АД, верхня - ВС.

Потрібно провести висоти з вершин В і С. Точки, які вкажуть кінці висот будуть позначені Н1 і Н2, відповідно. Оскільки у фігурі ВСН1Н2 всі кути прямі, то вона є прямокутником. Це означає, що відрізок Н1Н2 дорівнює 6 см.

Тепер потрібно розглянути два трикутники. Вони рівні, оскільки є прямокутними з однаковими гіпотенузами і вертикальними катетами. Звідси випливає, що і менші катети у них рівні. Тому їх можна визначити як приватне від різниці. Остання вийде від віднімання з нижньої основи верхньої. Ділитися воно буде на 2. Тобто 12 - 6 потрібно поділити на 2. АН1 = Н2Д = 3 (см).

Тепер з теореми Піфагора потрібно знайти висоту трапеції. Вона необхідна для знаходження синуса кута. ВН1 = ^ (52 - 32) = 4 (см).

Скориставшись знанням про те, як знаходиться синус гострого кута в трикутнику з прямим кутом, можна записати такий вираз: sin ^ = ВН1/АВ = 0,8.

Відповідь. Шуканий синус дорівнює 0,8.

№2. На знаходженні висоти трапеції за відомим тангенсом.

Умова. У рівнобедреної трапеції потрібно вирахувати висоту. Відомо, що її підстави дорівнюють 15 і 28 см. Дан тангенс гострого кута: 11/13.

Рішення. Позначення вершин таке ж, як у попередньому завданні. Знову потрібно провести дві висоти з верхніх кутів. За аналогією з рішенням першого завдання потрібно знайти АН1 = Н2Д, які визначаться як різниця 28 і 15, поділена на два. Після підрахунків виходить: 6,5 см.

Оскільки тангенс - це ставлення двох катетів, то можна записати таку рівність: tg ^ = АН1/ ВН1. Причому це відношення дорівнює 11/13 (за умовою). Оскільки АН1 відомий, то можна вирахувати висоту: ВН1 = (11 * 6,5 )/13. Прості розрахунки дають результат у 5,5 см.

Відповідь. Висота рівна 5,5 см.

№3. На обчислення висоти за відомими діагоналями.

Умова. Про трапецію відомо, що її діагоналі дорівнюють 13 і 3 см. Потрібно дізнатися її висоту, якщо сума підстав становить 14 см.

Рішення. Нехай позначення фігури буде таким же, як раніше. Припустимо, що АС - менша діагональ. З вершини С потрібно провести шукану висоту і позначити її СН.

Тепер потрібно виконати додаткову побудову. З кута С потрібно провести пряму, паралельну більшій діагоналі і знайти точку її перетину з продовженням боку АД. Це буде Д1. Вийшла нова трапеція, всередині якої накреслено трикутник АСД1. Він і потрібен для подальшого вирішення завдання.

Шукана висота виявиться ще й їй же в трикутнику. Тому можна скористатися формулами, вивченими в іншій темі. Висота трикутника визначається як виробництво числа 2 і площі, поділене на сторону, до якої вона проведена. А сторона виявляється рівною сумі підстав вихідної трапеції. Це виходить з правила, за яким виконано додаткову побудову.

У розглянутому трикутнику всі сторони відомі. Для зручності введемо позначення х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

Тепер можна порахувати площу, скориставшись теоремою Герону. Напівпериметр дорівнює р = (х + у + z )/2 = (3 + 13 + 14 )/2 = 15 (см). Тоді формула для площі після підстановки значень буде виглядати так: S = ^ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 ^ 10 (см2).

Тепер потрібно порахувати висоту: н = (2 * 6 ^ 10 )/14 = 6 ^ 10/7 (см).

Відповідь. Висота дорівнює 6 10/7 см.

№4. Для пошуку висоти обабіч.

Умова. Дана трапеція, три сторони якої дорівнюють 10 см, а четверта 24 см. Потрібно дізнатися її висоту.

Рішення. Оскільки фігура рівнобедрена, то буде потрібна формула під номером 2. У неї потрібно просто підставити всі значення і порахувати. Це буде виглядати так:

н = ^ (102 - (10 - 24) 2/4) = ^ 51 (см).

Відповідь. н = ^ 51 див.