Як знайти площу ромба? Можливі шляхи для пошуку відповіді

Як знайти площу ромба? Можливі шляхи для пошуку відповіді

Математика - шкільний предмет, який вивчається всіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма любима. Часом незаслужено. Ця наука постійно підкидає учням завдання, які дозволяють їх мозку розвиватися. Математика відмінно справляється з тим, щоб не дати розумовим можливостям дітей згаснути. Особливо добре з цим справляється один з її розділів - геометрія.

Будь-яка з тих, які в ній вивчаються, варта уваги і поваги. Геометрія - це спосіб розвинути просторову уяву. Прикладом може служити тема про площі фігур, зокрема ромбів. Ці задачки можуть завести в глухий кут, якщо не розібратися в деталях. Тому що можливі різні підходи до пошуку відповіді. Комусь простіше запам 'ятати різні варіанти формул, які написані нижче, а хтось здатний сам їх отримати з раніше засвоєного матеріалу. У будь-якому випадку безвихідних ситуацій не буває. Якщо трохи подумати, то рішення обов 'язково знайдеться.

Що таке ромб і чим він схожий на інші чотирикутники?

Відповісти на це питання потрібно, щоб зрозуміти принципи отримання формул і хід міркування в завданнях. Адже щоб розібратися в тому, як знайти площу ромба, потрібно чітко розуміти, що це за фігура і які її властивості.

Для зручності розгляду паралелограм, який є чотирикутником з попарно паралельними сторонами, приймемо за "" батька "". У нього є двоє "" дітей "": прямокутник і ромб. Обидва вони є паралелограмами. Якщо продовжувати паралелі, то це - "" прізвище "". Отже, для того щоб знайти площу ромба, можна скористатися вже вивченою формулою для паралелограма.

Але, як і всі діти, ромб має і щось своє. Це трохи відрізняє його від "" батька "" і дозволяє розглядати як окрему фігуру. Адже прямокутник не ромб. Повертаючись до паралелей - вони як брат і сестра. У них багато спільного, але вони все ж відрізняються. Ці відмінності - їх особливі властивості, якими потрібно користуватися. Було б дивно знати про них і не застосовувати у вирішенні завдань.

Якщо продовжити аналогії і згадати ще одну фігуру - квадрат, то вона буде продовженням ромба і прямокутника. У цій фігурі об 'єднані всі властивості і однієї, і іншої.

Властивості ромба

Їх п 'ять і вони перераховані нижче. Причому деякі з них повторюють властивості паралелограма, а якісь притаманні тільки розглянутої фігурі.

  • Ромб - це паралелограм, який прийняв особливу форму. З цього випливає, що його сторони є попарно паралельними і рівними. Причому рівні вони непросто попарно, а все. Як це було б у квадрата.
  • Діагоналі цього чотирикутника перетинаються під кутом, який дорівнює 90º. Це зручно і багато в чому спрощує хід міркувань при вирішенні завдань.
  • Інша властивість діагоналів: кожна з них ділиться точкою перетину на рівні відрізки.
  • Кути, що лежать один навпроти одного, у цієї фігури рівні.
  • І остання властивість: діагоналі ромба збігаються з біссектрисами кутів.

Позначення, прийняті в розглянутих формулах

У математиці належить вирішувати завдання з використанням загальних буквених виразів, які називаються формулами. Тема про площі не є винятком.

Щоб перейти до записів, які розкажуть, як знайти площу ромба, потрібно домовитися про літери, якими замінено всі числові значення елементів фігури.

Таблиця позначення елементів ромба

Назва елемента

Позначення

сторона ромба

а

велика діагональ

Д1

маленька діагональ

Д2

висота ромба

Н

гострий кут

А

тупий кут

У

радіус вписаної в ромб кола

загальноприйняті у математиці позначення

площа фігури

 

Тепер прийшла пора написання формул.

Серед цих завдань - тільки діагоналі ромба

Правило стверджує, що для знаходження невідомої величини потрібно перемножити довжини діагоналей, а потім твір розділити навпіл. Результат поділу - це і є площа ромба через діагоналі.

Формула для цього випадку виглядатиме так:

Нехай ця формула буде йти під номером 1.

У завданні дані сторона ромба і його висота

Щоб обчислити площу, потрібно знайти твір цих двох величин. Мабуть, це найпростіша формула. Причому вона відома ще з теми про площу паралелограма. Там така формула вже вивчалася.

Математичний запис:

Номер цієї формули - 2.

Відомі сторона і гострий кут

У цьому випадку потрібно звести в квадрат величину сторони ромба. Потім знайти синус кута. І третьою дією обчислити твір двох величин, що утворилися. Відповіддю буде площа ромба.

Літерний вираз:

Його порядковий номер - 3.

Дані величини: радіус вписаної кола і гострий кут

Для обчислення площі ромба потрібно знайти квадрат радіуса і помножити його на 4. Визначити значення синуса кута. Потім розділити твір на другу величину.

Формула приймає такий вигляд:

Вона буде пронумерована цифрою 4.

У завданні фігурують сторона і радіус вписаної кола

Щоб визначити, як знайти площу ромба, потрібно обчислити виробництво даних величин і числа 2.

Формула для цього завдання виглядатиме так:

Її номер за порядком - 5.

Приклади можливих завдань

Завдання 1

Одна з діагоналів ромба дорівнює 8, а інша - 14 см. Потрібно знайти площу фігури і довжину її сторони.

Рішення

Для знаходження першої величини потрібна формула 1, в якій Д1 = 8, Д2 = 14. Тоді площа обчислюється так: (8 * 14 )/2 = 56 (см2).

Діагоналі ділять ромб на 4 трикутники. Кожен з них обов 'язково буде прямокутним. Цим потрібно скористатися, щоб визначити значення другої невідомої. Сторона ромба стане гіпотенузою трикутника, а катетами будуть половини діагоналей.

Тоді а2 = (Д1/2) 2 + (Д2/2) 2. Після підстановки всіх значень виходить: а2 = (8/2) 2 + (14/2) 2 = 16 + 49 = 65. Але це квадрат сторони. Значить, потрібно витягти квадратний корінь з 65. Тоді довжина сторони буде приблизно рівна 8,06 см.

Відповідь: площа 56 см2, а сторона 8,06 см.

Завдання 2

Сторона ромба має значення, рівне 5,5 дм, а його висота - 3,5 дм. Знайти площу фігури.

Рішення

Для того щоб знайти відповідь потрібна буде формула 2. У ній а = 5,5, Н = 3,5. Тоді, замінивши у формулі літери на числа, отримаємо, що шукана величина дорівнює 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм2).

Відповідь: площа ромба дорівнює 19,25 дм2.

Завдання 3

Гострий кут у деякого ромба дорівнює 60º, а його менша діагональ - 12 см. Потрібно обчислити його площу.

Рішення

Щоб отримати результат, потрібна буде формула під номером 3. У ній замість А буде 60, а значення а невідоме.

Для знаходження боку ромба потрібно згадати теорему синусів. У прямокутному трикутнику а буде гіпотенузою, менший катет дорівнює половині діагоналі, а кут ділиться навпіл (відомо з властивості, де згадується біссектриса).

Тоді сторона а буде рівна твору катета на синус кута.

Катет потрібно обчислити як Д/2 = 12/2 = 6 (см). Синус (А/2) дорівнює його значенню для кута 30º, тобто 1/2.

Виконавши нескладні обчислення, отримаємо таке значення сторони ромба: а = 3 (см).

Тепер площа - це твір 32 і синуса 60.200, тобто 9 * (^ 3 )/2 = (9 ^ 3 )/2 (см2).

Відповідь: шукана величина дорівнює (9 ^ 3 )/2 см2.

Підсумки: все можливо

Тут були розглянуті деякі варіанти того, як знайти площу ромба. Якщо в завданні безпосередньо незрозуміло, яку формулу використовувати, то потрібно трохи подумати і спробувати пов 'язати раніше вивчені теми. В інших темах обов 'язково знайдеться підказка, яка допоможе пов' язати відомі величини з тими, що є у формулах. І завдання вирішиться. Головне - пам 'ятати, що все раніше вивчене можна і потрібно використовувати.

Крім запропонованих завдань, можливі і зворотні завдання, коли за площею фігури потрібно обчислити значення будь-якого елемента ромба. Тоді потрібно скористатися тим рівнянням, яке найближче до умови. А потім перетворити формулу, залишивши в лівій частині рівності невідому величину.