Як провести повне дослідження функції

Як провести повне дослідження функції

У цій статті розглянемо схему дослідження функції, а також наведемо приклади дослідження на екстремуми, монотонність, асимптоти цієї функції.

Схема

  1. Область існування (ОДЗ) функції.
  2. Перетин функції (якщо є) з осями координат, знаки функції, парність, періодичність.
  3. Точки розриву (їх рід). Безперервність. Асимптоти вертикальні.
  4. Монотонність і точки екстремуму.
  5. Точки перегину. Випуклість.
  6. Дослідження функції на нескінченності, на асимптоти: горизонтальні та похилі.
  7. Побудова графіка.

Дослідження на монотонність

Теорема. Якщо функція g безперервна на [a, b], диференційована на (а; b) і g "(x) ^ 0 (g" (x) ^ 0), хе (а; b), g зростаюча (вбиваюча) на [a, b].

Приклад:

y = 1 : 3x3 – 6 : 2x2 + 5x.

ОДЗ: хєR

y’ = x2 + 6x + 5.

Знайдемо проміжки постійних знаків y ". Оскільки y "- елементарна функція, вона може змінювати знаки тільки в точках, де вона перетворюється на нуль або не існує. Її ОДЗ: хєR.

Знайдемо точки, похідна в яких дорівнює 0 (нулю):

y’ = 0;

x = -1; -5.

Отже, y зростаюча на (- ^; -5] і на [-1; + ^), y спадна на [1; 2].

Дослідження на екстремуми

Так, x0 називають точкою максимуму (max) на безлічі А функції g тоді, коли приймається в цій точці функцією найбільше g (x0) ^ g (x), хеА.

Так, x0 називають точкою мінімуму (min) функції g на безлічі А тоді, коли приймається в цій точці функцією значення найменше g (x0) ^ g (x), хеА.

На безлічі А точки максимуму (max) і мінімуму (min) іменуються точками екстремуму g. Такі екстремуми ще називають абсолютними екстремумами на безлічі.

Якщо x0 - екстремум є точкою функції g у певному окрузі, x0 називається точкою локального або місцевого екстремума (max або min) функції g.

Теорема (умова необхідна). Якщо x0 - точка екстремуму (локального) функції g, то похідна не існує або рівна в цій т. 0 (нулю).

Визначення. Критичними називають точки з неіснуючою або рівною 0 (нулю) похідною. Саме дані точки підозрілі на екстремум.

Теорема (умова достатня № 1). Якщо функція g безперервна в деякому окрузі т. x0 і знак змінює через цю точку при переході похідна, то дана точка є т. екстремуму g.

Теорема (умова достатня № 2). Нехай функція в деякому окрузі точки диференційована двічі і g "= 0, а g" "> 0 (g" "< 0), тоді ця точка є точкою максимуму (max) або мінімуму (min) функції.

Дослідження на випуклість

Функцію називають випуклою вниз (або увігнутою) на інтервалі (а, b) тоді, коли графік функції розташовується не вище секущої на проміжку для будь-яких x с (а, b), яка проходить через ці точки.

Функція буде випуклою строго вниз на (а, b), якщо графік лежить нижче секущів на проміжку.

Функцію називають випуклою вгору (випуклою) на проміжку (а, b), якщо для будь-яких точок з (а, b) графік функції на проміжку лежить не нижче секущої, що проходить через абсциси в цих точках.

Функція буде суворо випуклою вгору на (а, b), якщо графік на проміжку лежить вище секущів.

Якщо функція в певному окрузі точки безперервна і через т. x0 при переході функція змінює випуклість то ця точка іменується точкою перегину функції.

Дослідження на асимптоти

Визначення. Пряму називають асимптотою g (x), якщо після нескінченного видалення від початку координат до неї наближається точка графіка функції: d(M,l).

Асимптоти можуть бути вертикальні, горизонтальні та похилі.

Вертикальна пряма з рівнянням x = x0 буде асимптотою вертикальної графіка функції g, якщо в т. x0 нескінченний розрив, тобто хоча б одна ліва або права межа в цій точці - нескінченність.

Дослідження функції на відрізку на значення найменше і найбільше

Якщо функція безперервна на [a, b], то за теоремом Вейєрштрасса існує значення найбільше і значення найменше на цьому відрізку, тобто існують точки, які належать [a, b] такі, що g (x1) ^ g (x) < g (x2), x2 є [a, b]. З теорем про монотонність і екстремуми отримуємо наступну схему дослідження функції на відрізку на найменше і найбільше значення.

План

  1. Знайти похідну g "(x).
  2. Шукати значення функції g в цих точках і на кінцях відрізка.
  3. Знайдені значення можна порівняти і вибрати найменше і найбільше.

Зауваження. Якщо потрібно провести дослідження функції на кінцевому інтервалі (а, b), або на нескінченному (- ^; b); на max і min значення, то в плані замість значень функції на кінцях проміжку шукають відповідні односторонні межі: замість f (a) шукають f (a +) = limf (x), замість f (b) шукають f (-b). Так можна знайти ТДЗ функції на проміжку, тому що абсолютні екстремуми не обов 'язково існують в даному випадку.

Застосування похідної до вирішення прикладних завдань на екстремум деяких величин

  1. Виражають цю величину через інші величини з умови завдання так, щоб вона була функцією тільки від однієї змінної (якщо це можливо).
  2. Визначають проміжок зміни цієї змінної.
  3. Проводять дослідження функції на проміжку на max і min значення.

Завдання. Потрібно побудувати майданчик прямокутної форми, використавши а метрів сітки, біля стіни так, щоб з одного боку вона прилягала до стіни, а з інших трьох була огороджена сіткою. При якому співвідношенні сторін площа такого майданчика буде найбільшою?

S = xy - функція 2 змінних.

S = x (a - 2x) - функція 1-ї змінної; x є [0; a:2].

S = ax - 2x2; S' = a - 4x = 0, xєR, x = a : 4.

S(a : 4) = a2 : 8 - найбільше значення;

S(0) =0.

Знайдемо інший бік прямокутника: = a: 2.

Співвідношення сторін: y : x = 2.

Відповідь. Найбільша площа дорівнюватиме a2/8, якщо сторона, яка паралельна стіні, в 2 рази більше іншої сторони.

Дослідження функції. Приклади

Приклад 1

Є y = x3: (1-x)2. Провести дослідження.

  1. ОДЗ: хє (- 1) U (1; ∞).
  2. Загальна функція (ні парна, ні непарна), відносно точки 0 (нуль) не симетрична.
  3. Знаки функції. Функція елементарна, тому може змінювати знак тільки в точках, де вона дорівнює 0 (нулю), або не існує.
  4. Функція елементарна, тому безперервна на ТДЗ: (-∞; 1) U (1; ∞).

Розрив: х = 1;

limx3 : (1- x) 2 = ^ - Розрив 2-го роду (нескінченний), тому є вертикальна асимптота в точці 1;

х = 1 - рівняння асимптоти вертикальної.

5. y’ = x2(3 - x) : (1 - x)3;

ОДЗ (y "): x ≠ 1;

х = 1 - точка критична.

y’ = 0;

0; 3 - точки критичні.

6. y’’ = 6x : (1 - x)4;

Критичні т.: 1, 0;

x = 0 - т. перегину, y (0) = 0.

7. limx3 : (1 - 2x + x2) = ^ - немає горизонтальної асимптоти, але може бути похила.

k = 1 - число;

b = 2 - число.

Отже, є асимптота похила y = x + 2 на +.

Приклад 2

Дано y = (x2 + 1): (x - 1). Провести дослідження. Побудувати графік.

1. Область існування - вся числова пряма, крім т. x = 1.

2. y перетинає OY (якщо це можливо) у т. (0; g (0)). Знаходимо y (0) = -1 - т. перетину OY.

Точки перетину графіка з OX знаходимо, вирішивши рівняння y = 0. Рівняння коренів дійсних не має, тому ця функція не перетинає OX.

3. Функція неперіодична. Розгляньмо вираз

g(-x) ≠ g(x), и g(-x) ≠ -g(x). Це означає, що це загального виду функція (ні парна, ні непарна).

4. Т. x = 1 розрив має другого роду. У всіх інших точках функція безперервна.

5. Дослідження функції на екстремум:

(x2 - 2x - 1) : (x - 1)2 = y'

і вирішимо рівняння y '= 0.

Отже, 1 - ^ 2, 1 + ^ 2, 1 - точки критичні або точки можливого екстремуму. Ці точки розбивають числову пряму на чотири інтервали.

На кожному інтервалі похідна має певний знак, який можна встановити методом інтервалів або обчислення значень похідної в окремих точках. на інтервалах (- лід; 1 - ^ 2) U (1 + ^ 2; ^), позитивна похідна, значить, функція зростає; якщо xе (1 - ^ 2; 1) U (1; 1 + ^ 2), то функція вбиває, тому що на цих інтервалах похідна негативна. Через x1 під час переходу (рух слідує зліва направо) змінює похідний знак з "" + "на" - "", тому, в цій точці є локальний максимум, знайдемо

ymax = 2 - 2√2.

При переході через x2 змінює похідний знак з "" - "" на "" + "", тому, в цій точці є локальний мінімум, причому

ymix = 2 + 2√2.

Т. x = 1 не т. екстремуму.

6. 4 : (x - 1)3 = y''.

На (- лід; 1) 0 > y ", слідчо, на цьому інтервалі крива випукла; якщо xє (1; ^) - крива увігнута. У точці 1 не визначена функція, тому ця точка не точка перегину.

7. З результатів пункту 4 випливає, що x = 1 - асимптота вертикальна крива.

Горизонтальні асимптоти відсутні.

x + 1 = y - асимптота похила цією кривою. Інших асимптот немає.

8. Враховуючи проведені дослідження, будуємо графік (див. малюнок вище).