Приклади того, як обчислити площу циліндра

Приклади того, як обчислити площу циліндра

Існує велика кількість завдань, пов 'язаних з циліндром. У них потрібно знаходити радіус і висоту тіла або вид його перерізу. Плюс до всього, іноді потрібно вирахувати площу циліндра і його обсяг.

Яке тіло є циліндром?

У курсі шкільної програми вивчається круговий, тобто є таким у підставі, циліндр. Але виділяють ще й еліптичний вигляд даної фігури. З назви ясно, що його підставою буде еліпс або овал.

Підстав у циліндра дві. Вони рівні один одному і з 'єднані відрізками, які поєднують відповідні точки підстав. Вони називаються утворюючими циліндра. Всі утворюючі паралельні один одному і рівні. Саме вони становлять бічну поверхню тіла.

У загальному випадку циліндр - це похиле тіло. Якщо утворюючі складають прямий кут з підставами, то говорять вже про пряму фігуру.

Цікаво, що круговий циліндр є тілом обертання. Він виходить від повороту прямокутника навколо однієї з його сторін.

Основні елементи циліндра

Основні елементи циліндра виглядають наступним чином:

  1. Висота. Вона є найкоротшою відстанню між підставами циліндра. Якщо він прямий, то висота збігається з утворюючою.
  2. Радіус. Збігається з тим, який можна провести в підставі.
  3. Вісь. Це пряма лінія, яка містить центри обох підстав. Вісь завжди паралельна всім утворюючим. У прямому циліндрі вона перпендикулярна підставам.
  4. Осьовий переріз. Воно утворюється при перетині циліндра площиною, що містить вісь.
  5. Дотична площина. Вона проходить через одну з утворюючих і перпендикулярна осьовому перерізу, який проведено через цю утворюючу.

Як циліндр пов "язаний з вписаною в нього або описаною біля нього призмою?

Іноді зустрічаються завдання, в яких потрібно обчислити площу циліндра, а відомі при цьому деякі елементи пов 'язаної з ним призми. Як співвідносяться ці фігури?

Якщо призма вписана в циліндр, то її підстави - рівні багатокутники. Причому вони вписані у відповідні підстави циліндра. Бічні ребра призми збігаються з утворюючими.

У описаної призми в підставах знаходяться правильні багатокутники. Вони описані біля кіл циліндра, що є його підставами. Площини, які містять межі призми, стосуються циліндра за утворюючими.

Про площу бічної поверхні і основи для прямого кругового циліндра

Якщо зробити розгортку бічної поверхні, то вийде прямокутник. Його сторони будуть збігатися з утворюючою і довжиною кола підстави. Тому бічна площа циліндра дорівнюватиме твору цих двох величин. Якщо записати формулу, то вийде наступне:

Sбок = l * н,

де н - утворююча, l - довжина кола.

Причому останній параметр обчислюється за формулою:

l = 2 π * r,

тут r - радіус кола, ^ - число "" пі "", рівне 3,14.

Оскільки підстава - коло, то його площа обчислюється за допомогою такого виразу:

Sосн = ^ * r2.

Про площу всієї поверхні прямого кругового циліндра

Оскільки вона утворена двома підставами і бічною поверхнею, то потрібно скласти ці три величини. Тобто повна площа циліндра буде обчислюватися за формулою:

Sпол = 2, * r * н + 2, * r2.

Часто її записують в іншому вигляді:

Sпол = 2 ^ * r (н + r).

Про площі похилого кругового циліндра

Що стосується підстав, то там всі формули ті ж, адже вони як і раніше кола. А ось бічна поверхня вже не дає прямокутника.

Для розрахунку площі бічної поверхні похилого циліндра потрібно перемножити значення зразкової та периметра перерізу, який буде перпендикулярно обраною утворюючою.

Формула виглядає так:

Sбок = х * Р,

де х - довжина утворюючої циліндра, Р - периметр перерізу.

Переріз, до речі, краще вибирати такий, щоб він утворював еліпс. Тоді будуть спрощені розрахунки його периметра. Довжина еліпса обчислюється за формулою, яка дає приблизну відповідь. Але його часто буває достатньо для завдань шкільного курсу:

l = ^ * (а + в),

де "а" і "в" - напівосі еліпсу, тобто відстані від центру до найближчої і дальньої його точок.

Площу всієї поверхні потрібно обчислювати за допомогою такого виразу:

Sпол = 2 ^ * r2 + х * Р.

Чому дорівнюють деякі перерізи прямого кругового циліндра?

Коли переріз проходить через вісь, то його площа визначається як твір утворюючої і діаметра основи. Це пояснюється тим, що воно має вигляд прямокутника, сторони якого збігаються з позначеними елементами.

Щоб знайти площу перерізу циліндра, який є паралельним до осьового, потрібна також формула для прямокутника. У цій ситуації одна його сторона буде як і раніше збігатися з висотою, а інша дорівнює хорді підстави. Остання ж збігається з лінією перерізу.

Коли переріз перпендикулярно осі, то він має вигляд кола. Причому його площа така ж, як у основи фігури.

Можливо ще перетин під деяким кутом до осі. Тоді в перерізі виходить овал або його частина.

Приклади завдань

Завдання № 1. Дано прямий циліндр, площа основи якого 12,56 см2. Необхідно обчислити повну площу циліндра, якщо його висота дорівнює 3 см.

Рішення. Необхідно скористатися формулою для повної площі кругового прямого циліндра. Але в ній не вистачає даних, а саме радіусу підстави. Зате відома площа кола. З неї легко вирахувати радіус.

Він виявляється рівним квадратному кореню з приватного, яке виходить від поділу площі основи на пі. Після поділу 12,56 на 3,14 виходить 4. Квадратний корінь з 4 - це 2. Тому радіус матиме саме таке значення.

Тепер можна підрахувати площу бічної поверхні. Для цього слід помножити пі на радіус, висоту і 2. Твір виглядатиме так: 3,14 * 3 * 2 * 2. Підсумком дій є: 37,68 см2.

Для того щоб порахувати повну площу потрібно скласти дві підстави (12,56 см2) і бічну поверхню (37,68 см2). В результаті виходить число 50,24 см2.

Відповідь: Sпол = 50,24 см2.

Завдання № 2. Циліндр з радіусом 5 см припинено площиною, паралельної осі. Відстань від перерізу до осі дорівнює 3 см. Висота циліндра - 4 см. Потрібно знайти площу перерізу.

Рішення. Форма перерізу - прямокутна. Одна його сторона збігається з висотою циліндра, а інша дорівнює хорді. Якщо перша величина відома, то другу потрібно знайти.

Для цього слід зробити додаткову побудову. У підставі проводимо два відрізки. Обидва вони будуть починатися в центрі окружності. Перша буде закінчуватися в центрі хорди і дорівнювати відомій відстані до осі. Друга - на кінці хорди.

Вийде прямокутний трикутник. У ньому відомі гіпотенуза і один з катетів. Гіпотенуза збігається з радіусом. Другий катет дорівнює половині хорди. Невідомий катет, помножений на 2, дасть шукану довжину хорди. Обчислюємо його значення.

Для того щоб знайти невідомий катет, потрібно звести в квадрат гіпотенузу і відомий катет, відняти з першого друге і витягти квадратний корінь. Квадрати дорівнюють 25 і 9. Їх різність - 16. Після вилучення квадратного кореня залишається 4. Це шуканий катет.

Хорда дорівнюватиме 4 * 2 = 8 (см). Тепер можна обчислити площу перерізу: 8 * 4 = 32 (см2).

Відповідь: Sсоч рівна 32 см2.

Завдання № 3. Необхідно обчислити площу осьового перерізу циліндра. Відомо, що в нього вписаний куб з руба 10 см.

Рішення. Осівий переріз циліндра збігається з прямокутником, який проходить через чотири вершини куба і містить діагоналі його підстав. Сторона куба є утворюючою циліндра, а діагональ підстави збігається з діаметром. Твір цих двох величин дасть площу, яку потрібно дізнатися в завданні.

Для пошуку діаметра потрібно скористатися знанням того, що в основі куба - квадрат, а його діагональ утворює рівносторонній прямокутний трикутник. Гіпотенуза його є шуканою діагоналлю фігури.

Для її розрахунку потрібна формула теореми Піфагора. Потрібно звести в квадрат сторону куба, помножити її на 2 і витягти квадратний корінь. Десять у другій мірі - це сто. Помножене на 2 - двісті. Квадратний корінь з 200 дорівнює 10 2.

Переріз - це знову прямокутник зі сторонами 10 і 10 2. Його площу легко порахувати, перемноживши ці значення.

Відповідь. Sсоч = 100 ^ 2 см2.